¿Cuál es la forma adecuada: arcoíris o arco iris?

Las dos formas son correctas, pero la recomendación de la academia es escribirla en una sola palabra.

¿Cómo se debe escribir concientizar o concienzar?

  Las formas adecuadas son concienciar, usada en España; y concientizar, de uso mayoritario en América.

¿Porqué 'semidiós' lleva tilde si 'dios' no la lleva?

  'Dios' es monosílaba, pero semidiós es una palabra aguda terminada en -s.

¿Es correcto escribir con mayúscula, «el Gobernador...» para referirse a un gobernante?

De acuerdo con la normativa vigente, los títulos, cargos y dignidades se escriben con minúscula.

¿De qué tipo de sustantivo son los días de la semana?

Son sustantivos comunes, razón por la cual se escriben con minúscula. 

¿Cuál es el plural de dosis?

Las palabras graves o esdrújulas terminadas en s no varían en plural. Ej. Las dosis, los éxtasis, los lunes, los análisis.

¿Ícono se escribe con o sin tilde?

Se admiten las dos grafías; en España se usa mayoritariamente en su forma llana, en América se prefiere la palabra esdrújula.

A propósito de las nuevas reglas de ortografía, es cierto que al pronombre personal 'él' se le eliminó la tilde?

La tilde diacrítica no ha sido eliminada, salvo en algunos casos puntuales. Los pronombres tú, él, mí, sí siguen manteniéndola. Se han eliminado las tildes de guion y truhan; y han quedado a voluntad del usuario las de los pronombres demostrativos este, ese, aquel y sus femeninos y plurales, así como la del adverbio solo.

¿'Bahía' es palabra grave o aguda?

Es grave porque termina en vocal y su sílaba tónica es la penúltima: ba-hí-a

¿Por qué bíceps lleva tilde, si 'dosis', que también es grave y terminada en 's' no lleva?

 Las palabras graves terminadas en 's' no llevan tilde, excepto cuando la 's' es precedida por otra consonante, como es el caso de bíceps.

¿Cuál es la forma correcta? "Es más probable que ocurra que no" o "es más probable que ocurra a que no?

La primera; las comparaciones con los adverbios 'más' y 'menos' se realizan mediante la conjunción 'que'.

¿Qué otras expresiones se pueden usar en vez de a pesar de que o aun cuando?

 'Aunque', 'pese a que'.

¿Cuál es la abreviatura de centímetro?

No se trata de una abreviatura, sino de un símbolo, por eso no lleva punto (cm). Ejemplo: Compraré 10 cm de cinta y 40 cm de tela.

¿Todavía se usa mí con tilde?

 La tilde diacrítica para diferenciar el pronombre del adjetivo sigue vigente: esta es mi casa (adjetivo); esta casa me pertenece a mí (pronombre).

¿Es correcto usar la palabra 'corrompido'?

 Es perfectamente correcto. Se usa en la conjugación de los tiempos compuestos del verbo corromper, ya que es su participio pasivo. Ej. Este político se ha corrompido. Observe que existe también el adjetivo 'corrupto', que se deriva de una antigua forma irregular del participio. Ej.: Aquí abundan los funcionarios corruptos.

¿La palabra 'alguno' lleva tilde?

No. No lo lleva por tratarse de un vocablo grave terminado en vocal. En cambio, sí lo lleva 'algún', que es un vocablo agudo terminado en n.

¿Se puede utilizar la frase «Yo Fulano de Tal»?

Sí, se puede, pero debe haber una coma entre el pronombre personal y el nombre propio porque este último se encuentra en vocativo: «Yo, Fulano de Tal».

Igualmente, si después del nombre siguieran otros elementos oracionales, habría que enmarcar el nombre propio entre comas porque este seguiría estando en vocativo: «Yo, Fulano de Tal, juro decir la verdad y solo la verdad».

¿Cuál es el antónimo de ignorar?

Según el contexto: "saber", "conocer", "tener noticia de algo", "hacerle caso a alguien", "prestar atención".

¿Cuándo se usa "dentro" y cuándo "adentro"? o ¿frente" y "enfrente"? ¿Se dice "frente de mí" o "enfrente de mí"?

 Dentro se usa normalmente con verbos que indican estado o situación, también se utiliza con frecuencia con verbos de movimiento, más en América que en España.

Adentro,con verbos de movimiento explícito o implícito, significa ‘hacia la parte interior’. También se emplea para indicar estado o situación, con el significado de ‘en la parte interior’, aunque ello es más frecuente en América que en España, donde para expresar situación lo normal es usar «dentro».

Las expresiones adecuadas son frente a y enfrente de.

¿Cuándo se emplean en español las comillas simples?

Se emplean las comillas simples 

a) cuando, en un texto en el que ya se han usado las comillas angulares y las comillas altas, se presenta la necesidad de volver a entrecomillar una palabra o frase. 
b) Para enmarcar los significados en obras de carácter lingüístico: La voz apicultura está formada a partir de los términos latinos apis 'abeja' y cultura 'cultivo, crianza'.